Als je een gat door de aarde maakt, en er in springt, val je er dan aan de andere kant weer uit (magma even buiten beschouwing gelaten)

Inleiding

Aarde

Als je een gat in de aarde zou maken en er in zou springen, zou je er dan uitvallen aan de andere kant. Voor ons gevoel klopt deze vraag. Als we namelijk naar de aarde toe vallen komen we met een harde klap op de grond terecht, die vaak ook nog behoorlijk pijn doet. Voor een gat in de grond maakt dat niet uit. Die klap en de pijn duiden op het feit dat er heel veel energie in de val zit en vrijkomt als je ergens tegen aankomt.

⬇ Index

Aarde

Springen
Waarom vallen we naar de aarde toe? Is een andere vraag die achter deze vraag van door de aarde heen vallen zit. We vallen naar de aarde toe omdat twee massas elkaar aantrekken. Naarmate een massa in omvang toeneemt is de kracht waarmee hij iets aantrekt groter. Vandaar dat de aarde vastzit in een baan om de zon en de maan in een baan om de aarde draait. De massa van de zon bedraagt 1,989 * 1030 kilogram, dat komt neer op 3,3*105 keer de massa van de aarde. Vandaar ook dat twee mensen bijna elkaars aantrekkingskracht niet voelen. Een massa van minder dan 100 kilogram oefent niet erg veel kracht uit op een andere massa van 100 Kg. Gelukkig maar want anders zouden we de hele tijd tegen elkaar aanstoten als we vlak langs elkaar liepen.
⤋ Index

Zwaartekracht

Gesprongen
Door haar omvang heeft de aarde een zwaartekracht die een voortdurende versnelling in de richting van het aardoppervlak veroorzaakt van bijna 10 meter/seconde/seconde. Dus iedere seconde dat je naar de aarde valt, ga je 10 meter/seconde sneller. Maar als je probeert te springen, dan wordt de snelheid van je sprong per seconde 10 m/s vertraagt. Dus iedere seconde die je sprong duurt ga je 10 m/s langzamer.

Stel dat het je lukt om aan het begin van je sprong een snelheid te halen van 10 m/s, dan is je snelheid na een seconde dus alweer 0 m/s. Je hangt dus stil in de lucht. Vervolgens val je weer terug naar de aarde en kom je neer met 10 m/s. Want zoals de Engelsen zeggen:

What goes up, must come down.

Overigens is de grootte van de aantrekkingskracht op aarde niet overal gelijk. Zo zijn er plekken waar je maar met 9,78 m/s2 valt terwijl je op andere plekken met 9,83 m/s2 valt.

⇓ Index

Een gat

Kern
Maar stel dat we een gat zouden graven door het centrum van de aarde. Dit gedachtenexperiment is bijvoorbeeld bedacht voor een snelle manier van verplaatsen tussen twee punten op aarde. Een belangrijk punt bij dit experiment is, dat je het doet in een luchtledige buis, want zodra er lucht in de buis zit treedt er vertraging op. Je zou de lucht voor je namelijk samenpersen, met je toenemende snelheid, waardoor je steeds meer vertraging zou ondervinden. Dit effect zie je bijvoorbeeld bij parachute springen. Een parachute springer, met een gesloten parachute, kan een maximale snelheid halen die afhankelijk van zijn gewicht tussen de 200 en 300 kilometer per uur ligt. In een buis zou die snelheid nog lager liggen, omdat de lucht voor je niet snel genoeg opzij kan of voor je uit kan, ze moet tenslotte als je begint met vallen een kolom lucht van 12756 Km verplaatsen. De eerste paar meters is dat niet zo moeilijk, omdat de lucht op dat moment een dichtheid heeft gelijk aan de atmosfeer op zee niveau, 1 bar of 1000 mbar. Maar zodra je begint te versnellen met 10 m/s2 begin je de lucht voor je in de buis samen te persen en neemt de druk dus toe en daarmee dus ook de weerstand. Het handigste is het dus om met een luchtledige buis te werken. Nog een voordeel is dat er aan de andere kant van de buis niet een grote luchtstroom staat en achter je een vacuüm dat lucht de buis inzuigt.
↓ Index

Buis

Vallen
In een luchtledige buis versnel je dus naar het centrum van de aarde toe. Overigens zal die versnelling naarmate je de kern van de aarde nadert lager worden, er trekt tenslotte even veel massa aan je in de richting waarin je beweegt als in de richting waar je vandaan kwam. Maar dat is niet zo erg, omdat je tegen die tijd een aardige snelheid hebt opgebouwd. Dat is het mooie van de wet van behoudt van energie of innertie:
Een massa met een bepaalde snelheid zal die snelheid behouden zolang er geen externe krachten op uitgeoefend worden of zolang de krachten die versnellen of vertragen in evenwicht zijn.

Vandaar dat je als je fietst moet blijven trappen om niet stil te vallen. Overigens moet je ook blijven trappen om gebruik te kunnen maken van de gyroscopische krachten van de draaiende wielen, zodat je niet omvalt zodra je stil komt te staan.

↑ Index

Berekenen

Laten we voor het gemak van het berekenen uitgaan van een gemiddelde versnelling naar de aardkern toe van 5 m/s2. (Het ligt dichter tegen de 7,5 m/s2 omdat er toch nog een halve aarde aan je trekt als je in de kern terecht komt. Maar de zwaartekracht heeft niet een één op één relatie tussen hoeveelheid massa en mate van versnelling.) Met de formules voor de potentiële energie en de kinetische energie:

Potentiële energie: Epot = massa * zwaartekracht * hoogte

Laten we er voor de springer van uitgaan dat hij een massa heeft van 100 Kg en de hoogte is natuurlijk de helft van de doorsnede van de aarde: 12.756.274 meter

Kinetische energie: Ekin = 1/2 * massa * snelheid2

De massa van de springer verandert natuurlijk niet en het symbool voor snelheid is de V van velocite. Nu kun je berekenen wat je snelheid is op het moment dat je de aardkern bereikt. Vervolgens kun je dan op basis van die snelheid berekenen hoeveel afstand je nog kunt afleggen, als je vertraagd wordt met 5 m/s2

Epot = 100 Kg * 5 m/s2 * 12.756.274 m*1/2 ⇒
Epot = 500 N * 6.378.137 m ⇒
Epot = 3.189.068.500 Joule

De snelheid die ik met die Epot van 3,189 Giga Joule zou kunnen bereiken is:

Ekin = 3.189.068.500 Joule ⇒
3.189.068.500 Joule = 1/2 * 100 Kg * snelheid2 ⇒
2 * 3.189.068.500 Joule = 2* 1/2 * 100 Kg * snelheid2 ⇒
6.378.137.000 Joule = 100 Kg * V2 ⇒
6.378.137.000 Joule / 100 Kg = 100 Kg * V2 / 100 Kg ⇒
63.781.370 m2/ s2 = V2 ⇒
√63.781.370 m2/ s2 = √ V2 ⇒
V = 7.986 m/s
⇑ Index

Snelheid

Gevallen
Op het moment dat ik de aardkern bereik heb ik dus een snelheid van 7.986 m/s. Op dat moment schiet ik natuurlijk door, maar tegelijkertijd begin ik ook te vertragen. Want hoe verder ik van de aardkern kom hoe groter de massa die achter me aan me trekt, terwijl de massa voor me kleiner wordt. Als ik het gat uitkom is de kracht die op me uitgeoefend wordt weer gelijk aan dezelfde kracht die op me werd uitgeoefend toen ik in het gat sprong. Met als gevolg dat mijn snelheid tot nul wordt gereduceerd.
⤊ Index

Elastiekjes

Je kunt de zwaartekracht in een planeet dus zien als twee elastiekjes. De ene is volledig uitgerekt en zit vast aan de uitgang van het gat, de kant waar je naar toe gaat. Het andere elastiek zit vast aan de ingang van het gat waar je nu staat en is volledig ontspannen. Nu spring je in het gat. Het volledig uitgerekte elastiek begint hard samen te trekken en trekt je mee. Ondertussen rekt het elastiek aan de kant waar je begon uit. Halverwege oefenen beide elastieken evenveel kracht uit, maar je hebt ondertussen snelheid gekregen en schiet dus door. Maar terwijl het elastiek dat aan de uitgang vastzit zich meer en meer begint te ontspannen, spant het elastiek aan de kant van de ingang zich juist op. Tegen de tijd dat je aankomt aan de uitgang van het gat door de aarde heb je weer een volledig uitgerekt elastiek en een volledig ontspannen elastiek. Maar ondertussen is je snelheid tot nul teruggebracht door het uitrekken van het elastiek. Je valt dus niet uit het gat, maar zult er zelf uit moeten stappen.

⬆ Index

Extra

Index van koppen

⇟ Inleiding
⇊ Aarde
⇓ Zwaartekracht
⤋ Een gat
⬇ Buis
⬆ Berekenen
⤊ Snelheid
⇑ Elastiekjes
⇈ Extra
⇞ Index van koppen