Basisstof wiskunde: interpoleren

Inleiding

In de wiskunde gaat het vaak over het maken van voorspellingen. Wiskundigen kunnen zeer complexe statistische methodes toepassen om zo een intelligente uitspraak te doen over iets was we nog niet weten. In dit artikel zal een eenvoudige manier toelichten om getallen te voorspellen, interpoleren.

Wat is interpoleren?

Interpoleren is een wiskundige bewerking waarbij een waarde, die tussen twee waardes ligt die bekent zijn, voorspeld kan worden. Interpoleren wordt vaak gebruikt bij het schatten van bijvoorbeeld hoe groot de bevolkingsomvang op een specifieke datum was of wat de waarde van een bepaald aandeel op een specifiek tijdstip was.

Interpoleren vanuit een grafiek

De grafiek hieronder geeft de Nederlandse bevolking weer vanaf 1960, de oranje lijn geeft een schatting (interpoleren) van de bevolking in het jaar 1998.

Om nu weer de bevolkingsomvang van 1998 te schatten heb ik 1998 in de grafiek getekend zodat we kunnen aflezen bij welke hoeveelheid we uitkomen. Dit is echter vrij onnauwkeurig zodat we beter vanuit een tabel kunnen interpoleren, met getallen.

Interpoleren vanuit een tabel

Zoals gezegd, om te kunnen interpoleren hebben we eerst een paar waardes nodig die bekend zijn. Deze waardes kunnen we in een tabel zetten voor de overzichtelijkheid om daaruit een nog niet bekende waarde te bereken. Ik gebruik hierbij dezelfde gegevens als in bovenstaande grafiek;

Zoals te zien is hebben de meetpunten een interval van 10 jaar. Niet echt een nauwkeurige weergave als we bijvoorbeeld informatie willen hebben over 1998. Om dit te weten te komen kunnen we interpoleren.

We gaan als volgt te werk om de bevolking van 1998 te schatten:

• Neem de waardes waartussen de onbekende ligt (in ons geval dus 1990 met 14.952.000 en 2000 met 15.925.000 mensen) en trek de laatste van de eerste af (15.925.000 - 14.952.000 = 973.000)

• We weten nu dus dat in tien jaar tijd (van 1990 tot 2000) de bevolking is toegenomen met 973.000

• Nu reken we uit hoeveel dat per jaar is door het verschil van de bekende bevolkingswaardes te delen door het verschil van de bijbehorende jaren. (in ons geval dus 973.000 / 10 = 97.300)

• We weten nu dus dat er gemiddeld per jaar 97.300 mensen tussen 1990 en 2000 bijkwamen.

• Aangezien we de bevolking van 1998 wilde uitrekenen moeten we dus 97.300 vermenigvuldigen met 8 (omdat 1998 – 1990 = 8)

• We weten nu dus dat er tussen 1990 en 1998 gemiddeld 97.300 * 8 = 778.400 mensen bijkwamen.

• Ten slotte tellen we aantal op bij de bevolking van 1990 zodat we de omvang van de Nederlandse bevolking in 1998 kunnen schatten op 14.952.000 + 778.400 = 15.730.400

De gemeten bevolkingsomvang van 1998 bleek in het echt 15.698.000 te zijn, zodat we 0,2% te hoog zaten met onze schatting, best nauwkeurig toch?

Nadelen

Hoewel interpoleren een goede methode is om zicht te krijgen op een specifieke waarde, kunnen we er geen voorspellingen over de toekomst mee doen. Verder blijft interpoleren een benadering waarbij het heel goed mogelijk is dat de echte waarde totaal anders kan zijn. Vergelijkbaar met een gemiddelde, waardes kunnen dicht bij elkaar liggen of het gemiddelde kan vervormd worden door een paar waardes die bijvoorbeeld veel hoger liggen dan de rest.

Conclusie

Ondanks het feit dat interpoleren een schatting blijft, kunnen we er toch vrij goed onbekende waardes mee uitrekenen. Een voorwaarde is echter wel dat er al wat gegevens moeten bestaan waar de onbekende waarde tussen moet liggen.